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一、隨機信號和正太分布有什么關(guān)系？

 

作為一個工程師，很多人對隨機振動看著熟悉，卻又實際陌生。熟悉是因為幾乎每個產(chǎn)品在出廠時都要求要做隨機振動試驗，陌生是因為當面對用戶所給的功率密度譜有時會感到很茫然，尤其是這個功率譜的單位居然是  ，簡直是反人類，為啥整這么麻煩，不能給個加速度  直接振嗎？哈哈，這個還真不能，下面咱們就來抽絲剝繭，看看隨機振動功率密度譜到底是咋個回事？

 

隨機振動，是因為振動源是隨機信號，顧明思議，就是信號的發(fā)生帶有隨機性，無法用一個明確的函數(shù)把它表達出來，一個典型的隨機信號大概長這個樣子：

 

 

可以看出，乍一看完全沒有規(guī)律可言，高度不規(guī)則，無規(guī)律的，不可預(yù)估也不可重復(fù)，每次測量都不一樣。那隨機信號是不是就是不可描述的呢？首先我們研究一下什么是隨機，隨機對應(yīng)不確定性，不確定性在物理學(xué)和數(shù)學(xué)上是一個不受歡迎的詞，老板問你圖紙什么時候畫完，你敢回答“隨機吧”，或者更佛系一點“隨緣吧”？相信等待你的可不僅僅是白眼哦，這也是為啥當初波恩將概率解釋引入到量子力學(xué)時受到愛因斯坦強烈的反對，“上帝是不擲骰子”的典故便來源于此。然后諸多證據(jù)表明：也許隨機是這個世界的本質(zhì)特性之一，這可以由一個著名的數(shù)學(xué)定理來證明：中心極限定理。

一、隨機信號和正太分布有什么關(guān)系

 

中心極限定理有一組，但基本可以用一句通俗的話來概括它們：大量相互獨立的隨機變量，其平均值正態(tài)分布。對中心極限定理最形象的解釋是高爾頓釘板實驗：小球在下落過程中碰到很多個釘子，每次碰撞都是一個二項式的隨機過程：以同等的概率通過釘子左側(cè)或者右側(cè)，小球最后到達的位置，是這很多個“左右”隨機變量相加后的平均位置。不難看出，這個平均值落在中心處的概率最大，小球聚集最多，但也可能向左或向右偏，偏離越大，小球的數(shù)目越少，不同位置的不同小球數(shù)便形成了一個“分布”，中心極限定理則是從數(shù)學(xué)上證明了，這個分布的極限是正態(tài)分布。

 

 

高爾頓釘板實驗實質(zhì)上是一組二項式分布，從數(shù)學(xué)上還可以證明：中心極限定理的條件可以從二項分布推廣到獨立同分布隨機序列，以及不同分布的隨機序列。也就是說：在一定條件下，各種隨意形狀概率分布生成的隨機變量，它們加在一起的總效應(yīng)，是符合正態(tài)分布的。

 

這也是為啥正太分布這么常見的原因，因為實際上的隨機生物過程或物理過程，都不是只由一個單獨的原因產(chǎn)生的，它們受到各種各樣隨機因素的影響。比如產(chǎn)品加工免不了有誤差，而誤差形成的原因五花八門，各種各樣。就算我們打開上帝視角，夠分別清楚產(chǎn)生誤差的每種單一原因，誤差的分布曲線可能不是高斯的，但是，所有誤差加累計在一起時，通常得到一個正態(tài)分布。下圖是30組隨機變量，和值隨數(shù)據(jù)增加時分布情況。

 

30組隨機變量（每組100萬數(shù)據(jù)），和值的隨數(shù)據(jù)增加時分布情況
 

總之，中心極限定理告訴我們：無論引起過程的各種因素的基本分布是什么樣的，當實驗次數(shù) 充分大時，所有這些隨機分量之和近似是一個正態(tài)分布的隨機變量。也就是說：對于平穩(wěn)隨機過程而言，其分布是趨于正太的。

 

 

我們知道，正太分布的概率密度的表達式為：

 

 

其中為數(shù)學(xué)期望，代表著信號的平均值，

 

，

 

為方差，表示這信號偏離平均值的程度，

 

 。

 

為均方值，在工程上可以一般看成信號的平均功率，其平方根為有效值（RMS值），

 

 

很容易得到：

 

 

所以當平均值為零的時候，均方值與方差相等。從圖形上看，平均值 決定了正太分布的位置，均方根值，也就是標準差  ，決定了分布的幅度。如果正態(tài)分布概率密度一旦確定，其數(shù)學(xué)期望和方差也就確定了。對于隨機信號而言，數(shù)學(xué)期望基本為零（或者去除直流分量后為零），所以唯一確定的量就剩均方值，此時均方值和方差一致，并且

 

 

如果仔細觀察上式，可以發(fā)現(xiàn)，從量綱來看， 代表了能量概念，而方差代表了平均功率概念。

 

前面我們說到，平穩(wěn)隨機信號是趨于正太分布的，決定正太分布的兩個參數(shù)：平均值 基本為零（不為零時，直流分量也很容易處理），唯一能表征隨機信號的就剩均方值（時等于方差） ，也就是平均功率了。再具體一點，對于平穩(wěn)隨機信號而言，描述是沒有意義的，描述平均功率才有意義。如何才能描述平均功率呢？這時我們就要用到頻譜分析的概念了，可能有些人會覺得這個概念很生疏，我要說我們每天一睜眼就在進行譜分析你會信嗎？事實還真是這樣。我們的眼睛就是一雙最精密的譜分析儀：過濾到可見光以外的所有光線，并且可見光按照頻譜（頻率）進行精確分類。

 

我們知道光本質(zhì)是一種電磁波，既然是波，就有波長 和波動頻率  ，光速 一個定值，波長和波動頻率成反比。人眼可識別出波長在400納米至700納米的光線，并且根據(jù)波長不同（頻率不同）將可見光分成紅、橙、黃、綠、藍、靛、紫色。

 

當我們說“一個東西的表面是紅色”的時候，這是正常人的定性描述，換成喜歡定量描述（裝X）工程師會怎么說呢？“這個東西表面特性會選擇性反射一種電磁波，這種電磁波波長約700納米，波動頻率 約赫茲”。

 

 

那頻譜分析是什么呢？它是一種將復(fù)雜號分解為較簡單信號的技術(shù)，許多物理信號均可以表示為許多不同頻率簡單信號的和，找出一個信號在不同頻率下的信息（可能是幅度、功率、強度或相位等）的作法就是頻譜分析。比如通過一個三棱鏡就可進行色散試驗，將白光分解成頻率各不相同的單色光，我們經(jīng)常在雨后見到的彩虹也是一種色散現(xiàn)象。

 

 

在傅里葉變換背后到底有什么小秘密 這篇文章中，我們介紹了傅里葉變換概念，它是頻譜分析的基礎(chǔ)，這篇文章中介紹了復(fù)指數(shù)函數(shù)是如何構(gòu)成一個完備正交基的，以及如何進行傅里葉變換及其逆變換。但是，說這么多，頻譜分析和隨機信號有什么關(guān)系？
 

二、時域、頻域之間功率守恒？

 

頻譜分析和平穩(wěn)隨機信號可以通過一個叫“帕斯瓦定理”的公式聯(lián)系起來，一個經(jīng)常被低估的定理，大概長這個樣子：

 

 

其中 是 的傅里葉變換，這個公式看著還挺對稱，被積函數(shù)都是自變量的平方，貌似蘊含著什么深刻的意義。翻譯過來，這個定理說的是什么事呢？那就是信號的能量（或者平均功率）無論在時域看，還是在頻域看，都是一樣的。

 

人類習(xí)慣于在時域觀察一個信號，那會不會存在另一個物種或者空間，他們喜歡在頻域觀察呢？但無論如何，帕斯瓦定理告訴我們，不論頻域還是時域，信號所代表的能量是守恒的，而守恒的本質(zhì)是對稱性，那是不是預(yù)示著時域和頻域有著某種高度的對稱呢？

 

好了，扯遠了，哲學(xué)上的事情不歸工程師管，我們要所的事情就是如何定量化的的去描述不確定的東西，比如隨機信號。前面我們說了，平穩(wěn)隨機信號 的幅值是呈現(xiàn)正太分布的，其平均值接近為零（或去除直流分量后），均方值或方差（也就是平均功率）是固定的，既然平均功率（或能量）在時域和頻域是守恒的，而在時域 是隨機的，不可描述，那我們可以換到頻域去啊：

 

 

其中：   ，  表示了信號的平均功率（或能量）在頻域上的分布，即單位頻帶的功率隨頻率變化的情況，故稱之為信號的自功率譜密度函數(shù)，簡稱自功率譜或自譜。   與 軸包圍的面積等于信號的平均功率，即 的幅值分布的方差或均方值。同時可以看出，當 表示加速度時（單位為  ），的單位就變成了 。

 

三、自相關(guān)又是個什么玩意？

 

現(xiàn)在，事情就貌似變得簡單了，我們將時域信號進行傅里葉變換，得到頻域分布 ,然后平方積分就可以得到功率譜密度了啊。理論上，我們確實可以這么做，但是實際上，這樣做有一個小困難，那就是經(jīng)典傅里葉變換不是一直存在的，前提的：信號 絕對值可積，即 ，而實際上平穩(wěn)隨機變量是不滿足的。

 

為了解決隨機信號的傅里葉變換問題，我還得引入一個概念：自相關(guān)，先看定義：隨機過程 的自相關(guān)函數(shù)定義為在時刻和時刻的隨機變量乘積的平均值，是時移，當平均時間  時，平均值的極限便是自相關(guān)函數(shù)，其數(shù)學(xué)表達式為：時，平均值的極限便是自相關(guān)函數(shù)，其數(shù)學(xué)表達式為：

 

 

 

定義有點拗口，可以先不理解，它說明一個什么事呢？它反映了隨機信號本身在不同時刻的相互關(guān)系，再直白一點：把一個信號平移一段距離，跟原來有多相似。我們都知道，重要的證件上的照片，一般都要求是近半年的，道理顯而易見，時間久了跟現(xiàn)在長得可能就不一樣了。下圖顯示了C羅近十年容顏的變化，都說女大十八變（即使不整容），男的又何嘗不是。 

 

 

很顯然的一點是：隨著時間的推移，C羅的長相是發(fā)生明顯變化的，時間越短，長相越接近，可以想象，當時間足夠長后，不知道我們還能不能認出他來，不信，你看：

 

 

 

 

對于隨機信號，特別白噪聲隨機信號來說，當時移非常小時， 和 相差很小的概率很大，這時值非常大，表示關(guān)系密切。特別當  時， 值最大，等于方均值，也就是平均功率，表示完全相關(guān)。

 

當時移 較大時， 和 相差很小的概率很小。作平均計算正負對消，值很小。并且隨著值的增大，值很快衰減到零，表示和之間沒有依賴關(guān)系，對一般的寬帶隨機振動，時間間隔很遠的二個隨機量之間不存在任何固定關(guān)系。簡單點來說：對于平穩(wěn)隨機信號，自相關(guān)函數(shù)將信號的平均功率向 這一點集中，時自相關(guān)函數(shù)快速衰減為零。
 

 

 

對于周期信號，自相關(guān)函數(shù)可以把隨機信號中的周期成份檢測出來，這是因為任何周期信號在所有的時移上都有一定形狀的自相關(guān)函數(shù)圖形。對于周期信號來說，經(jīng)過一個周期后又精確的重復(fù)過去的時間歷程，因此當時移超過該周期時，其自相關(guān)函數(shù)必然重復(fù)前一段的形狀。

 

所以若在自相關(guān)函數(shù)圖上發(fā)現(xiàn)時移趨于無窮大， ，而有某種周期性，則說明該隨機振動信號混有周期信號成分。 簡單點來說：自相關(guān)函數(shù)能夠檢測出信號內(nèi)部蘊藏的周期組分，而過濾掉了周期組分的相位信息。

 

對于上面兩段話不是很理解的，可以看下面兩幅圖，分別是白噪聲隨機信號和隨機相位正弦信號及其自相關(guān)信號。

 

 

說了這么多，和我們要進行功率譜分析有什么關(guān)系？前面我們分析了，信號的功率在時域和頻域都是滿足守恒定律的， 

 

 

而功率被定義成幅值的平方的時間平均分量，而這個過程，也可以看成是去除頻域諧波分量的相位信息的過程，因為本質(zhì)來說，一個簡諧信號的相位是不影響其功率的。而自相關(guān)函數(shù)，也具有去除信號相位的功能，那自相關(guān)函數(shù)和功率密度譜是不是有什么深刻的聯(lián)系呢？答案是肯定的，那就是維納-辛欽定理（Wiener–Khinchin theorem），這個定理表明：信號的自相關(guān)函數(shù)與功率密度譜是一對傅里葉變換對：

 

 

也就是說：一個信號的功率密度譜，就是其自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換。

 

總結(jié)一下整個邏輯：對于一個隨機信號而言，時域信息是雜亂無章的，唯一的確定性信息但是在統(tǒng)計意義下得到的，即幅值呈正太分布，均方值也就是平均功率是固定的。根據(jù)帕斯瓦定理，信號的平均功率在時域和頻域是守恒的，按道理說直接對時域信號進行傅里葉變換再取平方就可以。

但不幸的事，隨機信號的不滿足傅里葉變換絕對值可積的條件，嚴格意義傅里葉變換不存在，于是發(fā)明了自相關(guān)函數(shù)的概念，將信號的蘊含的周期信號識別出來，并將相位信息去掉（相位不影響平均功率），于是就出現(xiàn)了我們在教材上見到的最終形式維納-辛欽定理：一個信號的功率密度譜，就是其自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換。提煉一下就是：隨機信號→幅值正太分布→均方值（平均功率）→帕斯瓦定理（功率守恒）→自相關(guān)函數(shù)（去除相位信息）→維納-辛欽定理（最終形式）。